Um estudo ainda não revisado por pares, disponível no servidor de pré-impressão arXiv.org, apresenta uma proposta surpreendente que pode alterar nossa compreensão do infinito e da matemática em si.
A ideia vem da teoria dos conjuntos, uma área que busca entender os fundamentos da matemática, como o que podemos provar e o que devemos simplesmente assumir como verdadeiro. Para alcançar esse entendimento, os matemáticos exploram casos extremos, onde as regras tradicionais parecem não se aplicar. Às vezes, eles descobrem que essas regras realmente se quebram em algumas situações, como no estudo do infinito.
O conceito de infinito é notoriamente difícil de entender. Se pensarmos, por exemplo, no conjunto de números naturais (1, 2, 3…), podemos dizer que ele é infinito. Mas isso se aplica da mesma forma a outros conjuntos, como os números pares, frações ou números irracionais? A resposta para todas essas perguntas é “infinito”, mas há mais de um tipo de infinito – e é aí que a matemática começa a ficar estranha.
Os matemáticos descobriram que o conjunto dos números inteiros tem o mesmo tamanho infinito (denotado por א0, ou aleph-nulo) que o conjunto dos números pares ou das frações. No entanto, o conjunto dos números reais (que inclui tanto os racionais quanto os irracionais) é muito maior. Esse tipo de comparação e classificação de infinidades leva à introdução dos chamados “grandes cardinais” – números tão grandes que não podem ser provados com as regras tradicionais da matemática.
Os grandes cardinais são uma maneira de tentar entender o infinito em uma escala mais profunda. Eles ajudam a explorar áreas da matemática onde as perguntas não podem ser respondidas apenas com os axiomas tradicionais, como o Zermelo-Fraenkel com Axioma da Escolha (ZFC). Esses axiomas são a base da maior parte da matemática que conhecemos, mas para trabalhar com grandes cardinais, os matemáticos precisam introduzir novos axiomas como suposições.
Existem diferentes tipos de grandes cardinais, classificados por sua força e complexidade. Os menores são chamados de “cardinais inacessíveis“, enquanto os maiores chegam a ser chamados de “supercompactos” ou até “enormes“. No entanto, alguns desses números são tão grandes que contradizem as regras tradicionais da matemática, como o Axioma da Escolha.
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